17. März 2026
Kuina-chan
In Lektion 1 von „Kuina-chan Mathematik“ werden wir die Regeln und Konventionen der Mathematik erklären!
1.Axiome, Theoreme und Beweise
In der Mathematik gehen wir im Großen und Ganzen von einigen Prämissen aus, die als richtig angenommen werden, und leiten logisch Dinge ab, von denen gesagt werden kann, dass sie richtig sind. Diese vorgegebenen richtigen Prämissen werden „Axiome“ genannt.
Zusätzlich zu den Axiomen werden einige Regeln definiert, und in der Mathematik verwenden wir Axiome und diese Regeln, um nacheinander richtige Dinge abzuleiten.
Die neu abgeleiteten richtigen Dinge werden zusammen mit den Axiomen „Theoreme“ genannt, und der Prozess der Ableitung eines Theorems wird als „Beweis“ bezeichnet.
Aus einer anderen Perspektive ist das Lösen eines mathematischen Problems die Aufgabe, einen Beweis dafür zu finden, wie die Antwort auf das Problem zu einem Theorem wird, indem die bisher abgeleiteten Theoreme verwendet werden.
2.Aussagen und logische Formeln
Nun werden Objekte, die dahingehend beurteilt werden können, ob sie Theoreme sind oder nicht, wie „es ist 
“ und „es ist 
“, „Aussagen“ genannt.
“ und „es ist “, „Aussagen“ genannt.Es gibt verschiedene Möglichkeiten, mit Aussagen umzugehen, aber hier werden wir der Einfachheit halber „Wahr“ und „Falsch“ von logischen Formeln verwenden, um auszudrücken, dass „eine Aussage, die ein Theorem ist, ‚Wahr‘ ist, und keine zu sein, ‚Falsch‘ ist“. Wenn beispielsweise die Aussage „es ist “ ein Theorem ist, dann ist „es ist “ „Wahr“. Wenn die Aussage „es ist “ kein Theorem wird, dann ist „es ist “ „Falsch“.
“ ein Theorem ist, dann ist „es ist “ „Wahr“. Wenn die Aussage „es ist “ kein Theorem wird, dann ist „es ist “ „Falsch“.
Ergänzung
Formeln, die Wahr und Falsch auf diese Weise behandeln, werden „logische Formeln“ genannt. Dieses Mal haben wir uns entschieden, den Wahrheitswert logischer Formeln zu verwenden, um auszudrücken, ob eine Aussage ein Theorem ist, aber es gibt auch andere Möglichkeiten auszudrücken, ob eine Aussage ein Theorem ist. Eine Idee ist beispielsweise, eine Aussage, die immer Wahr ist, eine sogenannte „Tautologie“, als Theorem zu betrachten.
Zu diesem Zeitpunkt werden wir Aussagen mit Buchstaben wie „
“ und „
“ darstellen. Dann betrachten wir die Erstellung neuer Aussagen durch deren Kombination, wie „wenn dann “ und „ und “.
“ und „“ darstellen. Dann betrachten wir die Erstellung neuer Aussagen durch deren Kombination, wie „wenn dann “ und „ und “.Wenn beispielsweise die Aussage „es ist “ und die Aussage „es ist “ ist, können wir durch die Aussage „ oder “ die Aussage „es ist , oder, es ist “ erstellen.
die Aussage „es ist “ und die Aussage „es ist “ ist, können wir durch die Aussage „ oder “ die Aussage „es ist , oder, es ist “ erstellen.
Normalerweise wird „oder“ durch das Symbol „
“ und „und“ durch das Symbol „
“ dargestellt, geschrieben als „“ und „“. Das heißt, die Aussage „es ist oder es ist “ kann als „
“ geschrieben werden.
“ und „und“ durch das Symbol „“ dargestellt, geschrieben als „“ und „“. Das heißt, die Aussage „es ist oder es ist “ kann als „“ geschrieben werden.Übrigens bedeutet „ oder “, dass es Wahr ist, wenn entweder oder Wahr ist. Wenn beispielsweise die Aussage „es ist oder es ist “ Wahr ist, bedeutet dies, dass entweder „“ oder „“ Wahr ist. Mit anderen Worten, das Ergebnis von „“ ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
oder “, dass es Wahr ist, wenn entweder oder Wahr ist. Wenn beispielsweise die Aussage „es ist oder es ist “ Wahr ist, bedeutet dies, dass entweder „“ oder „“ Wahr ist. Mit anderen Worten, das Ergebnis von „“ ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt. |
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|---|---|---|
| Falsch | Falsch | Falsch |
| Falsch | Wahr | Wahr |
| Wahr | Falsch | Wahr |
| Wahr | Wahr | Wahr |
Andererseits bedeutet „ und “, dass es Wahr ist, wenn sowohl als auch Wahr sind. Mit anderen Worten, das Ergebnis von „“ ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
und “, dass es Wahr ist, wenn sowohl als auch Wahr sind. Mit anderen Worten, das Ergebnis von „“ ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt. |
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|---|---|---|
| Falsch | Falsch | Falsch |
| Falsch | Wahr | Falsch |
| Wahr | Falsch | Falsch |
| Wahr | Wahr | Wahr |
Angenommen, „“ ist Wahr, also ein Theorem, und „“ ist Falsch, also kein Theorem. Zu diesem Zeitpunkt wird „“ zu „Wahr und Falsch“, was Falsch ist, was bedeutet, dass es kein Theorem ist.
“ ist Wahr, also ein Theorem, und „“ ist Falsch, also kein Theorem. Zu diesem Zeitpunkt wird „“ zu „Wahr und Falsch“, was Falsch ist, was bedeutet, dass es kein Theorem ist.Ergänzung
Um genau zu sein, haben wir hier entschieden, dass, wenn eine Aussage, die mit „oder“ oder „und“ in einer logischen Formel erstellt wurde, Wahr ist, sie ein Theorem ist. Von nun an werden wir in ähnlicher Weise entscheiden, dass das, was in einer logischen Formel Wahr wird, ein Theorem ist.
3.Eigenschaften logischer Formeln
Von hier an werden wir verschiedene Eigenschaften logischer Formeln erklären, die beim Beweisen von Theoremen notwendig sind.
3.1Negation, Satz vom ausgeschlossenen Dritten und Widerspruch
Wenn wir eine negative Aussage „es ist nicht “ gegenüber der Aussage „es ist “ ausdrücken, verwenden wir das Symbol „
“. Für eine Aussage wird „nicht “ als „“ geschrieben, und das Ergebnis zu diesem Zeitpunkt ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
“ gegenüber der Aussage „es ist “ ausdrücken, verwenden wir das Symbol „“. Für eine Aussage wird „nicht “ als „“ geschrieben, und das Ergebnis zu diesem Zeitpunkt ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt. |
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|---|---|
| Falsch | Wahr |
| Wahr | Falsch |
Aus dieser Tabelle können wir ersehen, dass für jede Aussage entweder „“ oder „“ Wahr ist, das heißt, es wird zu einem Theorem. Mit anderen Worten, es gibt keine Aussage, bei der weder „“ noch „“ ein Theorem ist. Dieses Gesetz, dass „es keine Aussage gibt, bei der weder noch zu einem Theorem wird“, wird als „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ bezeichnet.
entweder „“ oder „“ Wahr ist, das heißt, es wird zu einem Theorem. Mit anderen Worten, es gibt keine Aussage, bei der weder „“ noch „“ ein Theorem ist. Dieses Gesetz, dass „es keine Aussage gibt, bei der weder noch zu einem Theorem wird“, wird als „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ bezeichnet.Andererseits wird die Tatsache, dass „sowohl als auch Theoreme sind“, als „Widerspruch“ bezeichnet. Aus dieser Tabelle können wir auch ersehen, dass es keine Aussage gibt, die einen Widerspruch verursacht.
als auch Theoreme sind“, als „Widerspruch“ bezeichnet. Aus dieser Tabelle können wir auch ersehen, dass es keine Aussage gibt, die einen Widerspruch verursacht.Durch die Kombination des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten und des Widerspruchs können wir auch dessen Negation beweisen, indem wir absichtlich einen Widerspruch verursachen, wie „wenn wir annehmen, dass ein Theorem ist, widerspricht es sich, daher ist ein Theorem“.
ein Theorem ist, widerspricht es sich, daher ist ein Theorem“.3.2Logische Implikation
Als weiteres Symbol für logische Formeln gibt es „
“, was „wenn dann “ bedeutet. Dies ist eine Aussage, dass „wenn gilt, gilt“.
“, was „wenn dann “ bedeutet. Dies ist eine Aussage, dass „wenn gilt, gilt“.
Die Tatsache, dass die Aussage „“ ein Theorem ist, bedeutet, dass immer dann, wenn „ Wahr ist“, „ auch Wahr ist“.
“ ein Theorem ist, bedeutet, dass immer dann, wenn „ Wahr ist“, „ auch Wahr ist“.Zu diesem Zeitpunkt, wenn „ Falsch ist“, spielt es keine Rolle, was ist. Mit anderen Worten, wenn „ Falsch ist“, egal was ist, wird die Tatsache, dass „“ ein Theorem ist, nicht umgestoßen, so dass zu diesem Zeitpunkt gesagt werden kann, dass „“ Wahr ist.
Falsch ist“, spielt es keine Rolle, was ist. Mit anderen Worten, wenn „ Falsch ist“, egal was ist, wird die Tatsache, dass „“ ein Theorem ist, nicht umgestoßen, so dass zu diesem Zeitpunkt gesagt werden kann, dass „“ Wahr ist.Das heißt, wenn von „“ Falsch ist, ist „“ Wahr, unabhängig davon, ob Wahr oder Falsch ist. Es ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
von „“ Falsch ist, ist „“ Wahr, unabhängig davon, ob Wahr oder Falsch ist. Es ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt. |
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|---|---|---|
| Falsch | Falsch | Wahr |
| Falsch | Wahr | Wahr |
| Wahr | Falsch | Falsch |
| Wahr | Wahr | Wahr |
Wenn es beispielsweise ein Theorem gibt „wenn 
, dann ist eine ungerade Zahl“, sagt es nichts über den Fall aus, in dem nicht , also wenn nicht , ob eine gerade Zahl oder eine ungerade Zahl ist, wird dieses Theorem nicht umgestoßen. Daher können wir verstehen, dass wenn „wenn Falsch, dann...“, diese Aussage immer Wahr sein sollte.
, dann ist eine ungerade Zahl“, sagt es nichts über den Fall aus, in dem nicht , also wenn nicht , ob eine gerade Zahl oder eine ungerade Zahl ist, wird dieses Theorem nicht umgestoßen. Daher können wir verstehen, dass wenn „wenn Falsch, dann...“, diese Aussage immer Wahr sein sollte.3.3Äquivalente Aussagen
Nun, wenn die Wahrheitswerte der Aussagen 
immer übereinstimmen, sagt man, dass und „äquivalent“, und wir schreiben „“.
immer übereinstimmen, sagt man, dass und „äquivalent“, und wir schreiben „“.Wenn zu einem Theorem wird, wenn ein Theorem ist, und zu einem Theorem wird, wenn ein Theorem ist, kann man sagen, dass die Wahrheitswerte von und übereinstimmen, also sind und äquivalent. Mit anderen Worten, als logische Formel geschrieben, wenn „“, sind und äquivalent. Aus diesem Grund wird „“ manchmal mit dem Symbol „
“ geschrieben.
zu einem Theorem wird, wenn ein Theorem ist, und zu einem Theorem wird, wenn ein Theorem ist, kann man sagen, dass die Wahrheitswerte von und übereinstimmen, also sind und äquivalent. Mit anderen Worten, als logische Formel geschrieben, wenn „“, sind und äquivalent. Aus diesem Grund wird „“ manchmal mit dem Symbol „“ geschrieben.Wenn und äquivalent sind, bedeutet der Beweis des einen auch den Beweis des anderen. Das Ergebnis von „“ ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
und äquivalent sind, bedeutet der Beweis des einen auch den Beweis des anderen. Das Ergebnis von „“ ist wie in der folgenden Tabelle gezeigt. |
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|---|---|---|
| Falsch | Falsch | Wahr |
| Falsch | Wahr | Falsch |
| Wahr | Falsch | Falsch |
| Wahr | Wahr | Wahr |
3.4Kehrsatz, Inverser Satz und Kontraposition
Wenn es eine Aussage in der Form von „“ gibt, wird „“ mit umgekehrtem und als „Kehrsatz“ bezeichnet. Außerdem wird „“ mit hinzugefügter Negation zu und als „inverser Satz“ bezeichnet, und „“, was sowohl Kehrsatz als auch inverser Satz ist, wird als „Kontraposition“ bezeichnet.
“ gibt, wird „“ mit umgekehrtem und als „Kehrsatz“ bezeichnet. Außerdem wird „“ mit hinzugefügter Negation zu und als „inverser Satz“ bezeichnet, und „“, was sowohl Kehrsatz als auch inverser Satz ist, wird als „Kontraposition“ bezeichnet.
Unter diesen ist die Kontraposition besonders wichtig, und die Kontraposition ist äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Beispielsweise ist für die Aussage „wenn , dann ist eine ungerade Zahl“ die Kontraposition „wenn keine ungerade Zahl ist, dann ist es nicht “, und diese beiden Aussagen sind äquivalent.
, dann ist eine ungerade Zahl“ die Kontraposition „wenn keine ungerade Zahl ist, dann ist es nicht “, und diese beiden Aussagen sind äquivalent.Mit anderen Worten, wenn Sie eine Aussage beweisen möchten, können Sie die ursprüngliche Aussage beweisen, indem Sie die Kontraposition beweisen, anstatt die ursprüngliche Aussage zu beweisen.
3.5De Morgansche Gesetze
Außerdem gibt es als wichtiges Gesetz die „De Morganschen Gesetze“.
Die De Morganschen Gesetze sind die Gesetze, dass „“ und „“ äquivalent sind, und „“ und „“ äquivalent sind. Um es aufzuschlüsseln, es ist ein Gesetz, dass, wenn die Klammern von „
“ entfernt werden, das „“ und das „“ im Inneren vertauscht werden und „“ verteilt wird.
“ und „“ äquivalent sind, und „“ und „“ äquivalent sind. Um es aufzuschlüsseln, es ist ein Gesetz, dass, wenn die Klammern von „“ entfernt werden, das „“ und das „“ im Inneren vertauscht werden und „“ verteilt wird.Beispielsweise ist die Aussage „es ist nicht ‚ ist eine gerade Zahl und ist 
oder mehr‘“ dasselbe wie zu sagen „ ist keine gerade Zahl, oder ist nicht oder mehr“. Außerdem ist „es ist nicht ‚ ist eine gerade Zahl oder ist oder mehr‘“ dasselbe wie zu sagen „ ist keine gerade Zahl, und ist nicht oder mehr“.
ist eine gerade Zahl und ist oder mehr‘“ dasselbe wie zu sagen „ ist keine gerade Zahl, oder ist nicht oder mehr“. Außerdem ist „es ist nicht ‚ ist eine gerade Zahl oder ist oder mehr‘“ dasselbe wie zu sagen „ ist keine gerade Zahl, und ist nicht oder mehr“.Es ist nützlich, wenn Sie komplexe Aussagen transformieren und organisieren möchten.
4.Aussagefunktionen
Um eine größere Vielfalt von Theoremen und Aussagen zu behandeln, lassen Sie uns ein wenig tiefer in logische Formeln eintauchen.
Etwas, das zu einer Aussage wird, wenn es einen Wert von außen erhält, wird als „Aussagefunktion“ bezeichnet. Beispielsweise wird für die Beschreibung „es ist 
“, wenn Sie für und 
für einsetzen, die Aussage „es ist “, also ist „es ist “ eine Aussagefunktion.
“, wenn Sie für und für einsetzen, die Aussage „es ist “, also ist „es ist “ eine Aussagefunktion.
Zusätzlich zu bestimmten Werten wie „“ und „“ können Aussagefunktionen Dinge wie „alle Werte“ und „ein bestimmter Wert“ annehmen. Durch Hinzufügen der Symbole „
“ und „
“ vor Buchstaben wie „
“ und „
“ stellen sie „alle Werte“ bzw. „es existiert ein bestimmter Wert“ dar.
“ und „“ können Aussagefunktionen Dinge wie „alle Werte“ und „ein bestimmter Wert“ annehmen. Durch Hinzufügen der Symbole „“ und „“ vor Buchstaben wie „“ und „“ stellen sie „alle Werte“ bzw. „es existiert ein bestimmter Wert“ dar.Wenn Sie beispielsweise die Aussagefunktion „es ist “ mit umschließen und für einsetzen und es als „es ist “ schreiben, stellt es die Aussage „für alle Werte , es ist “ dar. Wenn Sie es in ähnlicher Weise mit umschließen und für einsetzen und es als „es ist “ schreiben, wird es zur Aussage „es existiert ein bestimmter Wert , so dass es ist“.
“ mit umschließen und für einsetzen und es als „es ist “ schreiben, stellt es die Aussage „für alle Werte , es ist “ dar. Wenn Sie es in ähnlicher Weise mit umschließen und für einsetzen und es als „es ist “ schreiben, wird es zur Aussage „es existiert ein bestimmter Wert , so dass es ist“.
Als konkretes Beispiel nehmen wir an, es gibt eine Aussagefunktion „“, und die Aussage „“ mit eingesetzt für und ist Wahr, und die Aussage „“ mit eingesetzt für und für ist Falsch.
“, und die Aussage „“ mit eingesetzt für und ist Wahr, und die Aussage „“ mit eingesetzt für und für ist Falsch.Zu diesem Zeitpunkt, weil es „“ gibt, wird „“ nicht für alle und Wahr. Daher ist „“ Falsch. Außerdem, weil es „“ gibt, existieren zumindest einige und , so dass „“ Wahr wird. Daher ist „“ Wahr.
“ gibt, wird „“ nicht für alle und Wahr. Daher ist „“ Falsch. Außerdem, weil es „“ gibt, existieren zumindest einige und , so dass „“ Wahr wird. Daher ist „“ Wahr.5.Intuitionistische Logik
Schließlich werde ich kurz eine andere Denkweise vorstellen, die „intuitionistische Logik“ genannt wird.
Bisher sind wir vom „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ ausgegangen, der besagt, dass, wenn es Aussagen und gibt, mindestens eine davon ein Theorem ist, aber die intuitionistische Logik verwendet diesen Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht. Mit anderen Worten, mit der bisherigen Logik könnten wir sagen: „Ich weiß nicht, ob du Mathematik magst, aber entweder magst du Mathematik oder du magst sie nicht“, aber mit der intuitionistischen Logik können wir nicht einmal das sagen, und es wird zu „Ich weiß nicht einmal, ob du entweder Mathematik magst oder nicht“. Sie berücksichtigt die Möglichkeit, dass wir nicht wissen, ob es bewiesen werden kann.
und gibt, mindestens eine davon ein Theorem ist, aber die intuitionistische Logik verwendet diesen Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht. Mit anderen Worten, mit der bisherigen Logik könnten wir sagen: „Ich weiß nicht, ob du Mathematik magst, aber entweder magst du Mathematik oder du magst sie nicht“, aber mit der intuitionistischen Logik können wir nicht einmal das sagen, und es wird zu „Ich weiß nicht einmal, ob du entweder Mathematik magst oder nicht“. Sie berücksichtigt die Möglichkeit, dass wir nicht wissen, ob es bewiesen werden kann.Wenn wir den Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht annehmen, können viele Theoreme nicht bewiesen werden, so dass die intuitionistische Logik in vielen Bereichen der Mathematik nicht der Mainstream ist, aber sie ist hochgradig kompatibel und wird oft in Bereichen verwendet, die auf die Logik selbst und die Informatik abzielen.
Dieses Mal haben wir die Grundregeln der Mathematik erklärt. Nächstes Mal wollen wir tatsächlich ein Theorem aus bestimmten Axiomen beweisen!
