Lektion 2 Mengen und natürliche Zahlen - Kuina-chans Mathematik

17. März 2026

Kuina-chan

„Kuina-chans Mathematik“ In Lektion 2 erklären wir die Grundlagen der Mathematik und den Ablauf eines Beweises anhand von „

“! Es wird angenommen, dass Sie Lektion 1 gelesen haben.

Lektion 1 erklärte die grundlegenden Regeln der Mathematik.

Dieses Mal werden wir „“ beweisen, ausgehend von konkreten Axiomen. Aber zuvor möchte ich das grundlegendste Element der Mathematik erklären, die „Menge“. In der Mathematik wird im Grunde alles, beginnend mit Zahlen wie „

“, als aus „Mengen“ bestehend betrachtet.

1.Naive Mengenlehre

1.1Mengen und Elemente

Eine „Menge“ ist eine „Zusammenfassung von verschiedenen Dingen“. „Verschiedene Dinge“ ist vage, aber historisch gesehen begannen Mengen mit einem solch vagen Verständnis. Schließlich wird dies streng definiert werden.

Außerdem werden diese „verschiedenen Dinge“ „Elemente“ genannt. Und wenn ein Element

in einer Menge $\bm{X}$ ist, sagen wir, dass Element

zur Menge $\bm{X}$ „gehört“ (oder Element von $\bm{X}$ ist) und schreiben „ $\in$ $\bm{X}$ “.

In dieser Abbildung gehört Element

zur Menge $\bm{X}$ , also ist es „ $\in$ $\bm{X}$ “. Andererseits gehören Element

und Element

nicht zur Menge $\bm{X}$ , und in solchen Fällen, wo sie nicht gehören, schreiben wir „ $\notin$ $\bm{X}$ “ und „ $\notin$ $\bm{X}$ “.

1.2Aufzählende und beschreibende Schreibweise

Es gibt zwei Möglichkeiten auszudrücken, welche Elemente zu einer Menge gehören. Das sind die „aufzählende Schreibweise“ und die „beschreibende Schreibweise“.

Die „aufzählende Schreibweise“ ist eine Methode, die Elemente aufzulisten, die zur Menge gehören. Zum Beispiel, wenn die Elemente „Hund“, „Katze“ und „Kaninchen“ zur Menge $\bm{X}$ gehören, schreiben wir in der aufzählenden Schreibweise „ $\bm{X}$ $\{$ HundKatzeKaninchen $\}$ “.

Die „beschreibende Schreibweise“ ist eine Methode, die Eigenschaften der Elemente zu beschreiben. Zum Beispiel, wenn alle Tiere zur Menge $\bm{X}$ gehören, schreiben wir in der beschreibenden Schreibweise „ $\bm{X}$ $\{$ ist ein Tier $\}$ “. Hier haben wir das Symbol

verwendet, aber Sie können jedes Symbol verwenden und „ $\{$ SymbolBedingung unter Verwendung des Symbols $\}$ “ schreiben, was die Menge aller Dinge bedeutet, die diese Bedingung erfüllen.

Sie können entweder die aufzählende Schreibweise oder die beschreibende Schreibweise verwenden, und diejenige, die prägnanter ausgedrückt werden kann, wird verwendet.

1.3Teilmenge und Gleichheit

Als Nächstes erklären wir die Beziehung zwischen Mengen. Zum Beispiel, wenn „ $\bm{X}$

$\{$ Hund

Katze

Kaninchen $\}$ “ und „ $\bm{Y}$

$\{$ Hund

Katze $\}$ “, sind alle Elemente von $\bm{Y}$ Elemente von $\bm{X}$ . In diesem Fall sagen wir, Menge $\bm{Y}$ ist in Menge $\bm{X}$ „enthalten“ (oder ist eine Teilmenge von $\bm{X}$ ) und schreiben „ $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ “.

„Gehört zu ( $\in$ )“ und „Enthalten in ( $\subset$ )“ sehen im Symbol und in der Bedeutung ähnlich aus, aber Sie müssen aufpassen, sie nicht zu verwechseln. „Gehört zu“ ist die Beziehung zwischen einem Element und einer Menge, während „Enthalten in“ die Beziehung zwischen Mengen ist.

Hinweis

Da in der modernen Mathematik fast alles als Menge behandelt wird, sind Elemente einer Menge im Allgemeinen auch Mengen, daher ist die Unterscheidung zwischen „gehört zu“ und „enthalten in“ kompliziert. „Die Menge Y gehört zur Menge X“ bedeutet, dass die Menge Y eines der Elemente der Menge X ist, während „Die Menge Y ist in der Menge X enthalten“ bedeutet, dass alle Elemente der Menge Y in den Elementen der Menge X erscheinen.

Auch wenn alle Elemente übereinstimmen zwischen Menge $\bm{X}$ und Menge $\bm{Y}$ , sagen wir, Menge $\bm{X}$ und Menge $\bm{Y}$ sind „gleich“ und schreiben „ $\bm{X}$ $\bm{Y}$ “. Wenn sie nicht gleich sind, schreiben wir „ $\bm{X}$ $\neq$ $\bm{Y}$ “. Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge spielt keine Rolle, und doppelte Elemente werden als eins betrachtet. Das heißt, wenn „ $\bm{X}$

$\{$ Hund

Katze

Kaninchen $\}$ “ und „ $\bm{Y}$

$\{$ Kaninchen semicolon

Katze

Hund

Hund $\}$ “, dann gilt „ $\bm{X}$

$\bm{Y}$ “.

Die Symbole „

“ und „ $\neq$ “ werden auch beim Vergleich von Elementen verwendet. Wenn Element

und Element

dasselbe Ding sind, schreiben wir „

“, und wenn sie unterschiedlich sind, schreiben wir „

$\neq$

“.

1.4Mengen von Mengen

Nun können wir auch „eine Menge betrachten, deren Elemente Mengen sind“. Zum Beispiel ist eine Menge mit „Hund“ als Element „ $\{$ Hund $\}$ “, aber eine Menge mit dieser Menge als Element ist „ $\{$ $\{$ Hund $\}$ $\}$ “.

Zum Beispiel, wenn „Menge $\bm{X}$

$\{$ $\{$ Hund $\}$ semicolon

$\{$ Katze $\}$ $\}$ “, „Menge $\bm{Y}$

$\{$ $\{$ Hund $\}$ $\}$ “ und „Menge $\bm{Z}$

$\{$ Hund $\}$ “, dann „ $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ “ und „ $\bm{Z}$ $\in$ $\bm{X}$ “. Bitte achten Sie darauf, ob es eine Beziehung zwischen einem Element und einer Menge oder eine Beziehung zwischen Mengen ist.

1.5Vereinigung und Durchschnitt

In der Erklärung von Aussagen in Lektion 1 haben wir „oder ( $\lor$ )“ und „und ( $\land$ )“ erklärt, und Mengen haben ähnliche Dinge. Für Mengen wird „oder“ durch das Symbol „ $\cup$ “ dargestellt, und „und“ wird durch das Symbol „ $\cap$ “ dargestellt. Für Menge $\bm{X}$ und $\bm{Y}$ schreiben wir wie „ $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$ “ und „ $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$ “.

Zum Beispiel definieren wir Menge $\bm{X}$ , die „süße Dinge“ sammelt, als „ $\bm{X}$

$\{$ Honig semicolon

Zucker

Grapefruit $\}$ “, und Menge $\bm{Y}$ , die „saure Dinge“ sammelt, als „ $\bm{Y}$

$\{$ Essig semicolon

Zitrone

Grapefruit $\}$ “. In diesem Fall wird „süße Dinge oder saure Dinge“ zu „ $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$

$\{$ Honig semicolon

Zucker

Grapefruit semicolon

Essig

Zitrone $\}$ “, und „süße Dinge und saure Dinge“ wird zu „ $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$

$\{$ Grapefruit $\}$ “.

Mit anderen Worten, „ $\cup$ “ kann man als etwas bezeichnen, das Mengen kombiniert, und „ $\cap$ “ kann man als etwas bezeichnen, das den gemeinsamen Teil von Mengen extrahiert.

1.6Leere Menge

Eine Menge ohne Elemente existiert und wird „Leere Menge“ genannt, dargestellt durch das Symbol „ $\emptyset$ “. Zum Beispiel, wenn es keine Elemente in Menge $\bm{X}$ gibt, ist es „ $\bm{X}$

$\emptyset$ “. Dieses Symbol ähnelt dem griechischen Buchstaben „ $\phi$ (Phi)“, ist aber ein anderes Symbol.

„ $\emptyset$ “ und „ $\{$ $\emptyset$ $\}$ “ sind verschiedene Mengen. „ $\emptyset$ “ ist eine Menge ohne Elemente, aber „ $\{$ $\emptyset$ $\}$ “ ist eine Menge, die „ $\emptyset$ “ als Element hat.

2.Natürliche Zahlen

Nun, um „

“ zu beweisen, definieren wir „Natürliche Zahlen“ unter Verwendung von Mengen.

„Natürliche Zahlen“ sind eine Reihe von Zahlen, die endlos wie „

$\dots$ “ fortgesetzt werden. Ob man „

“ in die natürlichen Zahlen einschließt, hängt von der Lehrmeinung ab. In der modernen Mathematik wird es oft eingeschlossen, aber im Bereich der Zahlentheorie erscheint häufig der Vorbehalt „außer

“, daher wird es oft nicht eingeschlossen. Dieses Mal werden wir es einschließen.

Definieren wir die Menge aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ . Für die Definition von $\mathbb{N}$ könnte es ausreichend erscheinen, zum Beispiel „ $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ “ zu sagen. Dies beruht jedoch auf der Prämisse, dass wir wissen, dass es als „

$\dots$ “ weitergeht, daher kann es nicht als strenge Definition bezeichnet werden. Daher werden wir dieses Mal die sogenannten „Peano-Axiome“ als Definition der natürlichen Zahlen übernehmen.

Gemäß den „Peano-Axiomen“ sind „Natürliche Zahlen“ Dinge, die die folgende Struktur erfüllen.

Aufgeschlüsselt, beginnend bei „

“, endlos verbindend wie „der Nachfolger von

ist

“, „der Nachfolger von

ist

“, und ohne Verzweigungen oder Schleifen, ist das, was wir „Natürliche Zahlen“ nennen. Den Inhalt von (1) bis (5) dieser Definition zu illustrieren, sieht wie folgt aus.

(3) und (4) eliminieren Verzweigungen und Schleifen, und (5) eliminiert Folgen, die nicht „

$\dots$ “ sind. Aus dieser Abbildung können Sie sehen, dass es andere Fälle ausschließt, sodass natürliche Zahlen ein einzelner Pfad wie „

$\dots$ “ werden.

Nun betrachten wir alles, was eine solche „Struktur“ erfüllt, als natürliche Zahlen. Der wichtige Punkt ist nicht, dass „Natürliche Zahlen“ konkret existieren, sondern dass, wenn etwas Konkretes eine solche „Struktur“ hat, wir es eine natürliche Zahl nennen. Indem wir es so wahrnehmen, können wir verschiedene Dinge als natürliche Zahlen behandeln.

Dann konstruieren wir natürliche Zahlen nur mit Mengen. Wie zu Beginn erklärt, sind Mengen die Grundelemente der Mathematik. Wenn wir also die Struktur natürlicher Zahlen nur mit Mengen konstruieren können, können natürliche Zahlen auch als Elemente der Mathematik behandelt werden.

Zum Beispiel, wenn wir

als die leere Menge „ $\emptyset$ “ darstellen und für eine Zahl

den Nachfolger als „ $\{$ $\}$ “ darstellen, können wir „

$\dots$ “ definieren als „ $\emptyset$

“, „ $\{$ $\emptyset$ $\}$

“, „ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

“, „ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$

“, „ $\{$ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$ $\}$

“. Dies erfüllt jede Bedingung der Peano-Axiome. Daher können wir sagen, dass dies eine natürliche Zahl ist.

Als weiteres Beispiel, wenn wir

als die leere Menge „ $\emptyset$ “ darstellen und für eine Zahl

den Nachfolger als „ $\cup$ $\{$ $\}$ “ darstellen, geht es wie „ $\emptyset$

“, „ $\emptyset$ $\cup$ $\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$

$\}$

“, „ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\cup$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ semicolon

$\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$

$\}$

“, „(ausgelassen)

$\{$

$\}$

“, „ $\{$

$\}$

“. Dies erfüllt auch die Peano-Axiome, also können wir sagen, dass dies auch eine natürliche Zahl ist.

Auf diese Weise können natürliche Zahlen auf viele Arten aus Mengen konstruiert werden. Speziell welche Methode verwendet wurde, um natürliche Zahlen zu konstruieren, ist nicht wichtig, jede Methode ist in Ordnung, solange sie die Peano-Axiome erfüllt. Im Folgenden werden wir die so konstruierten natürlichen Zahlen als die Menge „ $\mathbb{N}$ $\{$ $\dots$ $\}$ “ darstellen.

3.Axiomatische Mengenlehre

3.1Russellsche Antinomie

Bis hierher haben wir das Gespräch etwas intuitiv fortgesetzt, aber strenge Logik enthüllt, dass der intuitive Umgang mit Mengen wie dieser zusammenbricht. Ein Beispiel dafür ist die „Russellsche Antinomie“ (oder Russellsches Paradoxon). Die Russellsche Antinomie ist wie folgt.

Betrachten wir zuerst die Menge „Wörter“, die alles sammelt, was ein Wort ist. In diesem Fall ist „Wörter“ selbst auch ein Wort, also gehört es zu dieser Menge. Das heißt, es wird wie „Wörter

$\{$ Hund

Apfel

Wörter

$\dots$ $\}$ “.

Betrachten wir als Nächstes die Menge „Emojis“, die alles sammelt, was ein Emoji ist. In diesem Fall ist „Emojis“ selbst kein Emoji, also gehört es nicht zu dieser Menge. Das heißt, es wird wie „Emojis

$\{$

$\dots$ $\}$ “.

Wenn man so denkt, können Mengen in zwei Typen unterteilt werden: solche wie „Wörter“, wo „die Menge selbst zur Menge gehört“, und solche wie „Emojis“, wo „die Menge selbst nicht zur Menge gehört“.

Hier betrachten wir die Menge, die alle „Mengen, die nicht zu sich selbst gehören“ sammelt. Da „Emojis“ eine „Menge war, die nicht zu sich selbst gehört“, wird es „Menge der Mengen, die nicht zu sich selbst gehören $\{$ Emojis $\dots$ $\}$ “. Nun, gehört diese Menge zu sich selbst? Das heißt, wird es „Menge der Mengen, die nicht zu sich selbst gehören $\{$ EmojisMenge der Mengen, die nicht zu sich selbst gehören $\dots$ $\}$ “?

Wenn wir annehmen, dass sie zu sich selbst gehört, ist sie eine „Menge, die nicht zu sich selbst gehört“, aber sie gehört dazu, also ist es ein Widerspruch. Auch wenn wir annehmen, dass sie nicht zu sich selbst gehört, erfüllt sie die Bedingung „Menge, die nicht zu sich selbst gehört“, also sollte sie zu dieser Menge gehören, was auch ein Widerspruch ist.

Wie in Lektion 1 erklärt, muss eine Aussage entweder wahr oder falsch sein, daher kann eine solche Frage keine Aussage sein. Mit anderen Worten, wenn wir eine Menge wie „die Menge aller Mengen, die nicht zu sich selbst gehören“ zulassen, führt das zu einem logischen Zusammenbruch.

3.2Axiomatische Mengenlehre

Daher entstand eine Bewegung, Mengen nicht durch intuitive Definitionen wie „eine Sammlung von Dingen“ zu definieren, sondern durch „Axiome“, die streng bestimmen, was eine Menge ist. Dies wird „Axiomatische Mengenlehre“ genannt. Die intuitive wird „Naive Mengenlehre“ genannt.

4.Axiome der Addition

Nun, beweisen wir endlich „“. Zu den bisher definierten natürlichen Zahlen fügen wir die folgenden Axiome hinzu.

Dies wird „Axiome der Addition“ genannt. Mit diesem Axiom können wir „

“ beweisen. Es ist wie folgt.

Nur durch mechanische Anwendung der Axiome der Addition wird „

“ aus „

“ abgeleitet. Ebenso können Sie verifizieren, dass „

“, „

“, usw. bewiesen werden können, also versuchen Sie es bitte.

Dieses Mal haben wir natürliche Zahlen unter Verwendung von Mengen definiert und „

“ unter Verwendung der Axiome der Addition bewiesen. Das nächste Mal sprechen wir über verschiedene Zahlen, einschließlich „ganzer Zahlen“, die negative Zahlen in die natürlichen Zahlen einschließen!

Lektion 2Mengen und natürliche Zahlen

1.Naive Mengenlehre

1.1Mengen und Elemente

1.2Aufzählende und beschreibende Schreibweise

1.3Teilmenge und Gleichheit

1.4Mengen von Mengen

1.5Vereinigung und Durchschnitt

1.6Leere Menge

2.Natürliche Zahlen

3.Axiomatische Mengenlehre

3.1Russellsche Antinomie

3.2Axiomatische Mengenlehre

4.Axiome der Addition

Lektion 2
Mengen und natürliche Zahlen