17. März 2026
Kuina-chan
„Kuina-chans Mathe“ Lektion 3 erklärt ganze Zahlen, einschließlich negativer Zahlen! Es wird vorausgesetzt, dass Sie Lektion 1 gelesen haben.
Lektion 2 bewies „1+1=2“ unter Verwendung der Axiome für Mengen, natürliche Zahlen und Addition. Aber auch ohne diese Axiome anzuführen, sind wir davon überzeugt, dass „1+1=2“ ist. Daher werden wir aufhören, Dinge wie „1\times1=1“ und „1-1=0“ wie in der vorherigen Lektion zu beweisen, und akzeptieren, dass sie bewiesen werden können, wenn man es darauf anlegt, und konzentrieren uns von nun an auf „Dinge, bei denen wir uns nicht wirklich sicher sind, ob sie wahr sind“.

1.Ganze Zahlen

In Lektion 2 drückten wir natürliche Zahlen als die Menge „\mathbb{N}=\{0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon4semicolon\dots\}“ aus, aber wenn wir Zahlen mit einem angehängten Minuszeichen (außer 0) einschließen, nennen wir sie „ganze Zahlen“. Das heißt, wenn die Menge aller ganzen Zahlen \mathbb{Z} ist, dann ist „\mathbb{Z}=\{\dots-3semicolon-2semicolon-1semicolon0semicolon1semicolon2semicolon3semicolon\dots\}“.
Zahlen größer als 0 werden „positive“ Zahlen genannt, und Zahlen kleiner als 0 werden „negative“ Zahlen genannt. 0 ist weder noch.
Wie Sie wissen, können wir für zwei beliebige ganze Zahlen asemicolonb die Addition „a+b“, die Subtraktion „a-b“ und die Multiplikation „a\timesb“ durchführen. „a\timesb“ wird manchmal als „a\cdotb“ geschrieben, oder oft wird das Multiplikationssymbol weggelassen und „ab“ geschrieben. In diesem Artikel werden wir es von nun an so schreiben.

1.1Potenzieren


Für eine ganze Zahl a und eine ganze Zahl b größer oder gleich 0 wird „a multipliziert b mal“ als „a^{b}“ geschrieben und „Potenzieren“ genannt. Zum Beispiel ist „2^{3}“ gleich „2\cdot2\cdot2“, was 8 ergibt. „10^{4}“ ist „10\cdot10\cdot10\cdot10“, was 1.0000 ergibt.
Für jede Zahl a, die nicht 0 ist, definieren wir jedoch „a^{0}=1“. Zum Beispiel, „2^{0}=1“ und „(-5)^{0}=1“.
Hinweis

Wenn man sich „2⁵ = 32“, „2⁴ = 16“, „2³ = 8“, „2² = 4“, „2¹ = 2“ ansieht, halbiert sich das Ergebnis jedes Mal, also sieht man, dass es natürlich ist, „2⁰ = 1“ zu denken.

„0^{0}“ wird manchmal der Einfachheit halber als „1“ definiert, aber aus verschiedenen Gründen wird es oft undefiniert gelassen.
Hinweis

Ein Grund, warum „0⁰“ normalerweise undefiniert ist, ist, dass beim Betrachten von „3⁰ = 1“, „2⁰ = 1“, „1⁰ = 1“ es natürlich erscheint, „0⁰ = 1“ zu denken, aber beim Betrachten von „0³ = 0“, „0² = 0“, „0¹ = 0“ es natürlich erscheint, „0⁰ = 0“ zu denken, was zu einem Widerspruch führt.

Die folgenden Gesetze gelten für das Potenzieren.
Potenzgesetze
  1. a^{m}\cdota^{n}=a^{m}^{+}^{n}
  2. a^{m}/a^{n}=a^{m}^{-}^{n}
  3. (a^{m})^{n}=a^{m}^{\cdot}^{n}
  4. (a\cdotb)^{n}=a^{n}\cdotb^{n}
(1) ist klar, weil das Multiplizieren von „a\cdota\cdot\dots\cdota (m mal)“ und „a\cdota\cdot\dots\cdota (n mal)“ zu „a\cdota\cdot\dots\cdota (m+n mal insgesamt)“ führt.
(2) beinhaltet Division, was die Anzahl der as verringert, also wird die Anzahl der as zu einer Subtraktion.
(3) bedeutet, dass „a\cdota\cdot\dots\cdota (m mal)“ selbst n mal wiederholt wird, was zu „a\cdota\cdot\dots\cdota (m\cdotn mal)“ führt.
(4) bedeutet „a\cdotb\cdota\cdotb\cdot\dots\cdota\cdotb (n mal jeweils für a und b)“, also führt das Umordnen der Reihenfolge zu „a\cdota\cdot\dots\cdota\cdotb\cdotb\cdot\dots\cdotb (n mal jeweils für a und b)“.

1.2Betrag


Der Abstand einer ganzen Zahl a von 0 wird der „Betrag“ von a genannt, notiert als „|a|“. Zum Beispiel ist der Betrag von 5 gleich „|5|=5“, und der Betrag von -3 ist „|-3|=3“.
Der Betrag kann als „positive Zahlen so lassen wie sie sind, und das Minuszeichen von negativen Zahlen entfernen“ angesehen werden.
Strenger definiert ist es wie folgt:
Definition des Betrags

Überprüfen Sie, dass |a| Folgendes erfüllt:

  • Wenn a\geq0, |a|=a.
  • Wenn a<0, |a|=-a.
Zum Beispiel, wenn a=-3, da a<0, dann |a|=-a=-(-3)=3.

2.Eigenschaften von Ganzen Zahlen

Lassen Sie uns nun verschiedene Eigenschaften von ganzen Zahlen erklären.

2.1Quotient und Rest


Die Division zweier ganzer Zahlen (a/b) kann zu einem Wert führen, der keine ganze Zahl ist. Daher definieren wir „Quotient“ und „Rest“, wo die Rechenergebnisse ganze Zahlen bleiben.
Bei der Ausführung von „a/b“ ist der „Quotient“ die Anzahl der Objekte pro Person, wenn a Objekte unter b Personen verteilt werden. Der „Rest“ ist die Anzahl der verbleibenden Objekte, die nicht verteilt werden konnten. Zum Beispiel, für „7/3“ ist der Quotient 2 und der Rest 1.
„Der Quotient von 7/3 ist 2 und der Rest 1“ bedeutet „wenn 7 Objekte unter 3 Personen verteilt werden, erhält jeder 2 Objekte und es bleibt 1 Objekt übrig“, was umformuliert werden kann als „es gibt 3 Personen mit je 2 Objekten, und kombiniert mit dem 1 verbleibenden Objekt ergibt das 7 Objekte“. Dies kann als „2\cdot3+1=7“ geschrieben werden. Mit anderen Worten, „Quotient q und Rest r von a/b“ sind definiert als Zahlen, die „q\cdotb+r=a“ erfüllen.
Definition von Quotient und Rest

Für eine ganze Zahl a und eine von Null verschiedene ganze Zahl b sind der Quotient und der Rest von „a/b“ als ganze Zahlen q und r definiert, die „q\cdotb+r=a und 0\leqr<|b|“ erfüllen.

Betrachtet man zum Beispiel „8/5“, ist der Quotient 1 und der Rest 3. Setzt man a als 8, b als 5, den Quotienten q als 1 und den Rest r als 3 in die obige Gleichung ein, erhält man „1\cdot5+3=8 und 0\leq3<5“, was tatsächlich den mathematischen Ausdruck erfüllt.
Im obigen Ausdruck sind Quotient und Rest undefiniert, wenn b gleich 0 ist. Das heißt, „3/0“ usw. sind undefiniert.

2.2Teilbarkeit, Teiler und Vielfache


Wenn der Rest von a/b gleich 0 ist, sagen wir, dass „b a teilt“ (oder a durch b teilbar ist). Zum Beispiel hat „4/2“ einen Rest von 0, also teilt 2 die 4. Auch „12/3“ hat einen Rest von 0, also teilt 3 die 12.
Wenn b a teilt, wird b ein „Teiler“ von a genannt, und a wird ein „Vielfaches“ von b genannt. Zum Beispiel, da 2 die 4 teilt, ist 2 ein Teiler von 4, und 4 ist ein Vielfaches von 2.
Die Auflistung der Teiler von 12 in aufsteigender Reihenfolge ergibt „-1semicolon2semicolon-6semicolon-4semicolon-3semicolon-2semicolon-1semicolon1semicolon2semicolon3semicolon4semicolon6semicolon1semicolon2“. Die Vielfachen von 2 sind „\dots-6semicolon-4semicolon-2semicolon0semicolon2semicolon4semicolon6semicolon\dots“, dies ist die Menge aller geraden Zahlen.
Da 1 und -1 alle ganzen Zahlen teilen, sind Vielfache von 1 und -1 alle ganzen Zahlen. Alle ganzen Zahlen außer 0 teilen 0, also sind die Teiler von 0 alle ganzen Zahlen außer 0.

2.3Gemeinsame Teiler und Gemeinsame Vielfache


Betrachten wir nun gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr ganzen Zahlen.
Ein Teiler, der a und b gemeinsam ist, wird ein „gemeinsamer Teiler“ von a und b genannt. In anderen Worten, wenn c a teilt und c b teilt, wird die ganze Zahl c ein „gemeinsamer Teiler“ von a und b genannt. Zum Beispiel teilt 2 die 4 und 2 teilt die 6, also ist 2 einer der gemeinsamen Teiler von 4 und 6.
Ein Vielfaches, das a und b gemeinsam ist, wird ein „gemeinsames Vielfaches“ von a und b genannt. In anderen Worten, wenn a c teilt und b c teilt, wird die ganze Zahl c ein „gemeinsames Vielfaches“ von a und b genannt. Zum Beispiel teilt 2 die 10 und 5 teilt die 10, also ist 10 eines der gemeinsamen Vielfachen von 2 und 5.
Für drei oder mehr Zahlen können gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache ähnlich definiert werden.

2.4Größter Gemeinsamer Teiler und Kleinstes Gemeinsames Vielfaches


Der größte der gemeinsamen Teiler von a und b wird der „größte gemeinsame Teiler“ von a und b genannt, oft notiert als „\rm{g}\rm{g}\rm{t}(asemicolonb)“. Das kleinste der positiven gemeinsamen Vielfachen von a und b wird das „kleinste gemeinsame Vielfache“ von a und b genannt, oft notiert als „\rm{k}\rm{g}\rm{v}(asemicolonb)“.
Hinweis

ggT steht für „größter gemeinsamer Teiler“, und kgV steht für „kleinstes gemeinsames Vielfaches“.

Zum Beispiel sind die Teiler von 8 „-8semicolon-4semicolon-2semicolon-1semicolon1semicolon2semicolon4semicolon8“, und die Teiler von 6 sind „-6semicolon-3semicolon-2semicolon-1semicolon1semicolon2semicolon3semicolon6“. Die gemeinsamen Teiler von 8 und 6 sind die geteilten „-2semicolon-1semicolon1semicolon2“, und der größte gemeinsame Teiler ist der größte unter ihnen, also \rm{g}\rm{g}\rm{t}(8semicolon6)=2.
Auch die positiven Vielfachen von 8 sind „8semicolon16semicolon24semicolon32semicolon\dots“, und die positiven Vielfachen von 6 sind „6semicolon12semicolon18semicolon24semicolon30semicolon\dots“. Die positiven gemeinsamen Vielfachen von 8 und 6 sind die geteilten „24semicolon48semicolon72semicolon\dots“, und das kleinste gemeinsame Vielfache ist das kleinste unter ihnen, also \rm{k}\rm{g}\rm{v}(8semicolon6)=24.
Für positive ganze Zahlen asemicolonb gibt es ein Gesetz, das besagt „a\cdotb=\rm{g}\rm{g}\rm{t}(asemicolonb)\cdot\rm{k}\rm{g}\rm{v}(asemicolonb)“. Zum Beispiel, da „\rm{g}\rm{g}\rm{t}(8semicolon6)=2“ und „\rm{k}\rm{g}\rm{v}(8semicolon6)=24“, ergibt das Einsetzen in „a\cdotb=\rm{g}\rm{g}\rm{t}(asemicolonb)\cdot\rm{k}\rm{g}\rm{v}(asemicolonb)“ „8\cdot6=2\cdot24“, was zu „48=48“ führt, was wahr ist. Wenn man dies nutzt, kann man, wenn man entweder den größten gemeinsamen Teiler oder das kleinste gemeinsame Vielfache kennt, leicht das andere berechnen.

2.5Euklidischer Algorithmus


Den größten gemeinsamen Teiler direkt zu finden braucht Zeit, aber die Verwendung des unten beschriebenen „Euklidischen Algorithmus“ macht es schneller.
Euklidischer Algorithmus
  1. Sei a die größere der zwei positiven ganzen Zahlen, deren größten gemeinsamen Teiler man möchte, und b die kleinere.
  2. Sei r der Rest von a/b.
  3. Wenn r\neq0, ist der größte gemeinsame Teiler von a und b gleich dem größten gemeinsamen Teiler von b und r. Fahren Sie also fort, den größten gemeinsamen Teiler von b und r zu finden und kehren Sie zu Schritt (1) zurück.
  4. Wenn r=0, ist der größte gemeinsame Teiler von a und b gleich b. (Berechnung beendet)
Zum Beispiel ist das Finden des größten gemeinsamen Teilers von 128 und 80 unter Verwendung des Euklidischen Algorithmus wie folgt.
Größter Gemeinsamer Teiler von 128 und 80
  • Zwischen 128 und 80 ist 128 die größere und 80 die kleinere, also setzen wir a=128, b=80.
  • Der Rest von a/b d.h. 128/80 ist r=48, also nach „der größte gemeinsame Teiler von a und b ist gleich dem größten gemeinsamen Teiler von b und r“, \rm{g}\rm{g}\rm{t}(128semicolon80)=\rm{g}\rm{g}\rm{t}(80semicolon48).
  • Ähnlich, durch Wiederholen mit a=80 und b=48, erhalten wir \rm{g}\rm{g}\rm{t}(80semicolon48)=\rm{g}\rm{g}\rm{t}(48semicolon32)=\rm{g}\rm{g}\rm{t}(32semicolon16).
  • Hier ist der Rest von 32/16 gleich r=0, also aus \rm{g}\rm{g}\rm{t}(asemicolonb)=b haben wir \rm{g}\rm{g}\rm{t}(32semicolon16)=16.
  • Daher \rm{g}\rm{g}\rm{t}(128semicolon80)=16.
Im Allgemeinen ist das Wiederholen der Division einfacher als das Auflisten der gemeinsamen Teiler, was diese Methode praktisch macht.

3.Primzahlen

Eine ganze Zahl p größer oder gleich 2, deren positive Teiler nur 1 und p sind, wird eine „Primzahl“ genannt. Zum Beispiel ist 5 eine Primzahl, weil ihre positiven Teiler nur 1 und 5 sind. 4 ist keine Primzahl, weil sie 2 als Teiler neben 1 und 4 hat.
In anderen Worten, eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer oder gleich 2, die „durch keine positive ganze Zahl außer ‚1 und sich selbst‘ geteilt werden kann“. Ganze Zahlen größer oder gleich 2, die keine Primzahlen sind, werden „zusammengesetzte Zahlen“ genannt.
Das Auflisten von Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge ergibt „2semicolon3semicolon5semicolon7semicolon11semicolon13semicolon17semicolon19semicolon23semicolon29semicolon\dots“. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Das Auftreten von Primzahlen scheint unregelmäßig zu sein, und die Forschung, um ihre Regeln zu erfassen, dauert von der Antike bis zur Gegenwart an.
Primzahlen können mit einer Methode namens „Sieb des Eratosthenes“ gewonnen werden. Diese Methode nutzt die Tatsache, dass „unter ganzen Zahlen größer oder gleich 2, diejenigen, die keine Vielfachen anderer Primzahlen sind, Primzahlen sind“, und wird wie folgt durchgeführt.
Sieb des Eratosthenes
Sieb des Eratosthenes

3.1Primfaktorzerlegung


Alle positiven ganzen Zahlen können als ein Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden. Zum Beispiel, „4=2\cdot2“, „6=2\cdot3“, „50=2\cdot5\cdot5“, usw. Eine positive ganze Zahl auf diese Weise als Produkt von Primzahlen auszudrücken, wird „Primfaktorzerlegung“ genannt.
Jede Primzahl, die während der Primfaktorzerlegung auftaucht, wird ein „Primfaktor“ genannt. Zum Beispiel, da „10=2\cdot5“, sind die Primfaktoren von 10 die 2 und 5.
Jede positive ganze Zahl kann immer in Primzahlen zerlegt werden, und das Muster ist auf nur einen Weg beschränkt, wenn die Reihenfolge der Multiplikation ignoriert wird. Zum Beispiel, unter Verwendung von Potenzieren, „1=2^{0}3^{0}5^{0}\dots“, „2=2^{1}3^{0}5^{0}\dots“, „3=2^{0}3^{1}5^{0}\dots“, „4=2^{2}3^{0}5^{0}\dots“, „5=2^{0}3^{0}5^{1}\dots“, „6=2^{1}3^{1}5^{0}\dots“. Diese Eigenschaft wird der „Fundamentalsatz der Arithmetik“ (oder Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) genannt und ist nützlich, um andere Theoreme zu beweisen.
Der Grund, warum 1 nicht in die Primzahlen aufgenommen wird, ist, dass wenn 1 aufgenommen würde, „2=1^{0}2^{1}\dots=1^{1}2^{1}\dots=1^{2}2^{1}\dots=1^{3}2^{1}\dots“ wäre, und die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht mehr gelten würde.

3.2Teilerfremdheit


Wenn zwei ganze Zahlen a und b keine gemeinsamen Teiler außer 1 und -1 haben, das heißt, wenn \rm{g}\rm{g}\rm{t}(asemicolonb)=1, sagt man, dass a und b „teilerfremd“ sind. Zum Beispiel, da \rm{g}\rm{g}\rm{t}(9semicolon20)=1, sind 9 und 20 teilerfremd.
Zu sagen, dass positive ganze Zahlen a und b „teilerfremd“ sind, ist äquivalent zu sagen, dass a und b „keine gemeinsamen Primfaktoren“ haben. Zum Beispiel, aus 9=3\cdot3 und 20=2\cdot2\cdot5, enthalten 9 und 20 keine gemeinsamen Primfaktoren, also können sie als teilerfremd bezeichnet werden.

4.Modulare Arithmetik

Kommen wir nun zum Thema Reste bei der Division zurück. „Der Rest, wenn 5 durch 3 geteilt wird, ist 2“, und „der Rest, wenn 8 durch 3 geteilt wird, ist auch 2“, also stimmen sie überein. Dies kann ausgedrückt werden als „in der Welt der Reste, wenn ganze Zahlen durch 3 geteilt werden, ist 5=8 wahr“. Wenn Reste geteilt durch 3 auf diese Weise übereinstimmen, sagen wir „5 und 8 sind kongruent modulo 3“ und schreiben „5\equiv8 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 3)“.
Allgemein für eine positive ganze Zahl m, wenn die Reste von a/m und b/m übereinstimmen, sagen wir „a und b sind kongruent modulo m“ und schreiben „a\equivb (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m)“. Wenn sie nicht übereinstimmen, schreiben wir „a\not\equivb (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m)“. Ein auf diese Weise geschriebener Ausdruck wird eine „Kongruenz“ (oder modulare Arithmetik) genannt.
Zum Beispiel ist „der Rest von 3 geteilt durch 2“ derselbe wie „der Rest von 1 geteilt durch 2“, also „3\equiv1 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 2)“. Andererseits ist „der Rest von 5 geteilt durch 4“ verschieden vom „Rest von 6 geteilt durch 4“, also „5\not\equiv6 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 4)“.
Kongruenzen haben die Eigenschaft, dass sie auch gelten, wenn dieselbe Zahl auf beiden Seiten addiert, subtrahiert oder multipliziert wird.
Eigenschaften von Kongruenzen

Für alle ganzen Zahlen asemicolonbsemicolonm, wenn a\equivb (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m) wahr ist, dann gelten die folgenden (1) bis (3).

  1. Für jede ganze Zahl n, a+n\equivb+n (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m).
  2. Für jede ganze Zahl n, a-n\equivb-n (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m).
  3. Für jede ganze Zahl n, a\cdotn\equivb\cdotn (\rm{m}\rm{o}\rm{d} m).
Zum Beispiel, da „5\equiv8 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 3)“ wahr ist, ergibt das Multiplizieren beider Seiten mit 100 „500\equiv800 (\rm{m}\rm{o}\rm{d} 3)“, was ebenfalls wahr ist.

5.Diophantische Gleichungen

Schließlich lassen Sie uns eine spezifische Herausforderung annehmen, die die bisher eingeführten Eigenschaften ganzer Zahlen anwendet. Es ist ein Problem namens „Diophantische Gleichung“.
Eine „Gleichung“ ist ein Problem, um den Wert einer Variablen zu finden, die eine Gleichheit erfüllt, wie zum Beispiel „Finde x, das 4x=8 erfüllt“. Der Wert der Variablen, für den die Gleichheit wahr ist, wird die „Lösung“ der Gleichung genannt.
Unter den Gleichungen beziehen sich „Diophantische Gleichungen“ auf solche, bei denen die Gleichung unendlich viele Lösungen hat (oft im Reellen, aber typischerweise suchen wir nach ganzzahligen Lösungen). Zum Beispiel „Finde die Kombination von x und y, die x+2y=3 erfüllt“. In diesem Fall sind „x=3semicolony=0“ und „x=1semicolony=1“ Lösungen.
Auf diese Weise haben Diophantische Gleichungen oft unendlich viele Lösungen, aber durch Hinzufügen von Bedingungen kann die Anzahl der Lösungen endlich werden. Lassen Sie uns ein Problem betrachten, das wie ein Puzzle unter Verwendung solcher Bedingungen gelöst werden kann.

5.1Problem


Lassen Sie uns das folgende spezifische Problem einer Diophantischen Gleichung annehmen.
Problem der Diophantischen Gleichung
Problem

Sei 1.234 „umdrehen“ so definiert, dass es zu 4.321 wird. In diesem Moment, wenn eine gewisse 4-stellige ganze Zahl N umgedreht wird, wird sie zum 4-fachen der ursprünglichen Zahl N. Finden Sie den Wert von N.

5.2Lösungsmethode


Zuerst konstruieren wir die Diophantische Gleichung. Sei die 4-stellige ganze Zahl N mit den Ziffern a, b, c, d von oben beginnend. Zum Beispiel, wenn N=1.234, dann a=1, b=2, c=3, d=4. Dann kann N als 1.000a+100b+10c+d ausgedrückt werden.
Da das Umdrehen zum 4-fachen der ursprünglichen Zahl führt, wird die folgende Gleichung gebildet.
Diophantische Gleichung

4\cdot(1.000a+100b+10c+d)=1.000d+100c+10b+a

Die linke Seite ist das 4-fache von N, und die rechte Seite ist die umgedrehte Zahl.
So wie sie ist, enthält diese Gleichung 4 Variablen und ist eine Diophantische Gleichung mit potenziell vielen Lösungen, also reduzieren wir die Lösungen unter Verwendung verschiedener Bedingungen.

5.3Finden des Wertes von a


Zuerst, wenn a=0, wäre N 3-stellig oder weniger, also muss a>0 sein. Auch, wenn a\geq3, würde die Multiplikation mit 4 zu 5 Stellen oder mehr führen, also muss a<3 sein. Das heißt, a ist entweder 1 oder 2.
Hier, wenn wir annehmen a=1, wird die Gleichung zu „4\cdot(1.000+100b+10c+d)=1.000d+100c+10b+1“, und die Einerziffer auf der rechten Seite ist „1“. Die linke Seite ist eine ganze Zahl multipliziert mit 4, aber es gibt keine ganze Zahl, die an der Einerstelle 1 ergibt, wenn sie mit 4 multipliziert wird (sie muss gerade sein), also stimmen linke und rechte Seite niemals überein. Mit anderen Worten, es ist klar, dass keine Lösung existiert, wenn a=1. Daher, wenn eine Lösung existiert, dann nur wenn a=2.

5.4Finden des Wertes von d


Durch Einsetzen von a=2 wird die Gleichung zu „4\cdot(2.000+100b+10c+d)=1.000d+100c+10b+2“. Hier ist die Einerziffer auf der rechten Seite „2“. Dass die Einerziffer einer ganzen Zahl multipliziert mit 4 zu 2 wird, passiert nur für „3\cdot4=12“ und „8\cdot4=32“, also ist d, welches die Einerziffer von N ist, entweder 3 oder 8.
Wenn d=3, ist die Gleichung „4\cdot(2.000+100b+10c+3)=3.000+100c+10b+2“, aber umgestellt ergibt das „b=(6c-501)/39“. Das Einsetzen eines beliebigen Wertes von 0 bis 9 in c führt dazu, dass b eine negative Zahl ist, also d\neq3. Daher, wenn eine Lösung existiert, dann nur wenn d=8.

5.5Finden der Werte von b und c


Durch Einsetzen von d=8 wird die Gleichung zu „4\cdot(2.000+100b+10c+8)=8.000+100c+10b+2“. Umgeformt ergibt dies „b=(2c-1)/13“. Damit „(2c-1)/13“ eine ganze Zahl ist, zeigt das Ausprobieren von Werten von 0 bis 9 für c, dass c=7 die einzige Lösung ist.
Durch Einsetzen von c=7 in b=(2c-1)/13 erhalten wir b=(2\cdot7-1)/13, also b=1.
Daher erhalten wir aus a=2, b=1, c=7, d=8 das Ergebnis N=2.178. Berechnet man 2.178\cdot4, erhält man 8.712, was bestätigt, dass „Multiplikation mit 4 zur umgekehrten Reihenfolge der ursprünglichen Zahl führt“.
In dieser Lektion haben wir die grundlegenden Eigenschaften ganzer Zahlen eingeführt. Das nächste Mal werden wir „reelle Zahlen“ und „Funktionen“ und „Abbildungen“ erklären, die wichtig sind, um diese Zahlen zu manipulieren!
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