17. März 2026
Kuina-chan
Kuina-chan Mathe Lektion 4 erklärt Funktionen und Abbildungen, die Zahlen verbinden! Wir setzen voraus, dass Sie Lektion 1 gelesen haben.
Lektion 3 definierte ganze Zahlen „\mathbb{Z}“. Dieses Mal werden wir rationale Zahlen „\mathbb{Q}“ und reelle Zahlen „\mathbb{R}“ erklären, die sogenannte Dezimalzahlen sind, sowie Funktionen und Abbildungen.

1.Rationale Zahlen und Reelle Zahlen

Bisher haben wir uns mit ganzen Zahlen beschäftigt, aber ab jetzt werden wir uns mit detaillierteren „rationalen Zahlen“ und „reellen Zahlen“ befassen. Diese nennen wir „Dezimalzahlen“.

1.1Rationale Zahlen


Eine Zahl, die in Form eines Bruchs von „Ganzzahl/Ganzzahl“ ausgedrückt werden kann, wobei der Nenner ungleich 0 ist, wird „rationale Zahl“ genannt. Zum Beispiel sind „2/3“, „0/1“ und „-5/4“ rationale Zahlen. Die Dezimalzahl „3,3333\dots“ ist ebenfalls eine rationale Zahl, da sie durch den Bruch „10/3“ ausgedrückt werden kann.
An dieser Stelle bezeichnen wir die Menge aller rationalen Zahlen als „\mathbb{Q}“. Das heißt, „\mathbb{Q}=\{2/3semicolon0/1semicolon-5/4semicolon3,3333\dotssemicolon\dots\}“.

1.2Umwandlung von Dezimalzahl in Bruch


Übrigens, Dezimalzahlen, deren Ziffern sich wiederholen wie „1,23123123123\dots“ können immer in Brüche „Ganzzahl/Ganzzahl“ umgewandelt werden, sind also alle rationale Zahlen. „0,5“ ist ebenfalls eine rationale Zahl, da sie sich als „0,5000\dots“ wiederholt.
Die Methode zur Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl wie „1,23123123123\dots“ in einen Bruch ist wie folgt.
Umwandlung von Dezimalzahl in Bruch
  • Sei x=1,23123123123\dots.
  • Multiplizieren Sie beide Seiten mit einer Potenz von 10, so dass ein Zyklus des wiederholten Teils der Dezimalzahl links vom Komma erscheint. Das heißt, 1000x=123,23123123123\dots.
  • Subtrahieren Sie die ursprüngliche Gleichung x=1,23123123123\dots von dieser Gleichung. Das heißt, 999x=1230.
  • Durch Umformen der Gleichung erhalten wir x=1230/999=410/333, also 1,23123123123\dots=410/333.
Jede periodische Dezimalzahl kann mit dieser Methode in einen Bruch umgewandelt werden.

1.3Irrationale Zahlen


Auf der anderen Seite werden nicht-periodische Dezimalzahlen „irrationale Zahlen“ genannt. Irrationale Zahlen können nicht als Brüche „Ganzzahl/Ganzzahl“ ausgedrückt werden. Beispiele für irrationale Zahlen sind Pi „3,1415926\dots“ und die Zahl, die 2 ergibt, wenn sie quadriert wird, „1,41421356\dots“.
Rationale Zahlen und irrationale Zahlen zusammen werden „reelle Zahlen“ genannt. Wir bezeichnen die Menge aller reellen Zahlen als „\mathbb{R}“.
Ergänzung

In dieser Definition von „reellen Zahlen“ haben wir den vagen Begriff „Dezimalzahl“ verwendet, aber er kann strenger definiert werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, ihn zu definieren, aber einfach gesagt, wenn man unendlich viele rationale Zahlen aneinanderreiht, können sie sich beliebig nah an etwas annähern. Diese Zahl ist möglicherweise keine rationale Zahl, und wir definieren sie als irrationale Zahl. Rationale Zahlen und irrationale Zahlen zusammen sind reelle Zahlen.

Nun sind alle natürlichen Zahlen in den ganzen Zahlen enthalten. Außerdem sind alle ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten. Daher ist die Inklusionsbeziehung der bisher eingeführten Zahlen wie folgt.
Inklusionsbeziehung der Hauptzahlen

Natürliche Zahlen \mathbb{N} \subset Ganze Zahlen \mathbb{Z} \subset Rationale Zahlen \mathbb{Q} \subset Reelle Zahlen \mathbb{R}

1.4Hauptoperationen


Für rationale Zahlen und reelle Zahlen, genau wie für ganze Zahlen, sind Addition „a+b“, Subtraktion „a-b“, Multiplikation „a\cdotb“, Potenzierung „a^{b}“ und Betrag „|a|“ für zwei beliebige Zahlen asemicolonb definiert. Auch für b ungleich 0 ist die Division „a/b“ ebenfalls definiert. Wenn b jedoch 0 ist, zum Beispiel „3/0“, ist es undefiniert.
Zusätzlich ist die „Quadratwurzel“ für reelle Zahlen definiert. Die „Quadratwurzel von x“ ist y, das „x=y^{2}“ erfüllt. Zum Beispiel sind die „Quadratwurzeln von 9“ die zwei Zahlen „3semicolon-3“, da „9=3^{2}“ und „9=(-3)^{2}“ wahr sind. Ebenso sind die „Quadratwurzeln von 4“ „2semicolon-2“.
Unter den Quadratwurzeln wird diejenige, die größer oder gleich 0 ist, die „positive Quadratwurzel“ genannt und durch das Symbol „\sqrt{x}“ dargestellt. Das heißt, „\sqrt{9}=3“ und „\sqrt{4}=2“.
Erweitert man dies, wird der Wert von y, der „x=y^{n}“ erfüllt, die „n-te Wurzel von x“ genannt. Und die n-te Wurzel von x (wobei x größer oder gleich 0 ist) wird als „\sqrt[n]{x}“ ausgedrückt. Zum Beispiel, da „16=2^{4}“, „\sqrt[4]{16}=2“.
Hier sind einige Werte von positiven Quadratwurzeln.
Werte von Positiven Quadratwurzeln
Positive Quadratwurzel
\sqrt{0}=0
\sqrt{1}=1
\sqrt{2}=1,4142135623\dots
\sqrt{3}=1,7320508075\dots
\sqrt{4}=2
\sqrt{5}=2,2360679774\dots
\sqrt{6}=2,4494897427\dots
\sqrt{7}=2,6457513110\dots
\sqrt{8}=2,8284271247\dots
\sqrt{9}=3
Wenn wir die positive Quadratwurzel y=\sqrt{x} graphisch darstellen, sieht es wie in der Abbildung unten aus. Wenn x kleiner als 0 ist, gibt es keine reelle Zahl, die x ergibt, wenn sie quadriert wird, daher ist \sqrt{x} undefiniert.
Graph der Positiven Quadratwurzel
Graph der Positiven Quadratwurzel
Übrigens ist \sqrt{2} eine irrationale Zahl. Es ist einfach, also beweisen wir es.
Beweis der Irrationalen Zahl
  • Im Folgenden zeigen wir, dass wenn \sqrt{2} eine rationale Zahl wäre, dies zu einem Widerspruch führen würde, und beweisen durch Elimination, dass \sqrt{2} eine irrationale Zahl ist.
  • Nehmen wir zuerst an, dass „\sqrt{2} eine rationale Zahl ist“. Dann kann es nach der Definition rationaler Zahlen und \sqrt{2}>0 als „\sqrt{2}=a/b“ unter Verwendung einiger positiver ganzer Zahlen asemicolonb ausgedrückt werden.
  • Quadrieren Sie beide Seiten, um „2=a^{2}/b^{2}“ zu erhalten. Multiplizieren Sie beide Seiten mit b^{2}, um „2b^{2}=a^{2}“ zu erhalten.
  • Da asemicolonb positive ganze Zahlen sind, sind beide Seiten von „2b^{2}=a^{2}“ positive ganze Zahlen, und beide Seiten können in Primfaktoren zerlegt werden. Wenn wir beide Seiten jeweils in Primfaktoren zerlegen, müssen wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung die Primfaktoren beider Seiten übereinstimmen.
  • Wenn asemicolonb quadriert werden, verdoppelt sich die Anzahl jedes enthaltenen Primfaktors, also ist die Anzahl der 2en unter den Primfaktoren von „b^{2}“ und „a^{2}“ jeweils gerade. Daher ist unter den Primfaktoren von „2b^{2}=a^{2}“ die Anzahl der 2en auf der linken Seite ungerade und auf der rechten Seite gerade, was nicht übereinstimmt und ein Widerspruch ist.
  • Somit wird die Aussage „\sqrt{2} ist eine rationale Zahl“ als falsch befunden, also nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist die Aussage „\sqrt{2} ist keine rationale Zahl“ wahr. Das heißt, \sqrt{2} ist eine irrationale Zahl. (Ende des Beweises)
Auf diese Weise wird die Beweismethode „Annehmen, dass \negp wahr ist, um absichtlich einen Widerspruch abzuleiten, und p durch Elimination zu beweisen“ „Widerspruchsbeweis“ genannt.

2.Gleichungen Höheren Grades

2.1Lineare Gleichungen


Versuchen wir, Gleichungen mit reellen Zahlen zu lösen. Zuerst ist unten ein einfaches Problem.
Problem der Linearen Gleichung
Problem

Finden Sie alle x, die 2x-3=5 erfüllen.

Eine Gleichung in der Form „ax+b=0 (wobei a\neq0)“ wird „lineare Gleichung“ genannt. Eine lineare Gleichung kann leicht gelöst werden, indem man einfach die gleiche Zahl auf beiden Seiten addiert oder multipliziert.
Antwort auf das Problem der Linearen Gleichung
  • Addieren Sie 3 zu beiden Seiten von 2x-3=5, um 2x=8 zu erhalten.
  • Teilen Sie beide Seiten von 2x=8 durch 2, um x=4 zu erhalten.
  • Daher ist x, das 2x-3=5 erfüllt, 4.

2.2Quadratische Gleichungen


Das Folgende ist ein etwas komplexeres Problem unten.
Problem der Quadratischen Gleichung
Problem

Finden Sie alle x, die x^{2}+4x-12=0 erfüllen.

Eine Gleichung in der Form „ax^{2}+bx+c=0 (wobei a\neq0)“ wird „quadratische Gleichung“ genannt. Eine quadratische Gleichung kann leicht gelöst werden, wenn sie in die Form „(x+a)(x+b)=0“ umgewandelt werden kann, also streben wir diese Form an.
Erweitern Sie zuerst die linke Seite der Gleichung „(x+a)(x+b)=0“. Es gibt eine Regel „p(q+r)=pq+pr“, also indem wir diese wiederholt anwenden, um die Klammern zu entfernen, können wir sie in „(x+a)(x+b)=(x+a)x+(x+a)b=x^{2}+ax+bx+ab=x^{2}+(a+b)x+ab“ umwandeln. Wir sind der Gleichung des Problems näher gekommen.
Vergleichen wir dies „x^{2}+(a+b)x+ab=0“ mit der Gleichung des Problems „x^{2}+4x-12=0“, können wir sehen, dass wenn wir 4 in „a+b“ und -12 in „ab“ einsetzen, wir die gleiche Gleichung machen können. Wenn wir an geeignete asemicolonb denken, so dass „a+b=4“ und „ab=-12“, finden wir, dass „a=6semicolonb=-2“. Wenn wir sie einsetzen, erhalten wir „x^{2}+(6+(-2))x+6\cdot(-2)=0“.
Also, aus den bisherigen Ergebnissen haben wir gefunden, dass die Gleichung des Problems „x^{2}+4x-12=0“ in „x^{2}+(6+(-2))x+6\cdot(-2)=0“ umgewandelt werden kann, und dies kann in „(x+6)(x+(-2))=0“ transformiert werden. Mit anderen Worten, anstatt der Gleichung des Problems, lassen Sie uns x finden, das „(x+6)(x-2)=0“ erfüllt. Dies bedeutet, dass die Multiplikation von „x+6“ und „x-2“ 0 ergibt, also muss mindestens eines davon 0 sein.
Betrachten wir den Fall, in dem „x+6“ 0 ist, finden wir x=-6. Betrachten wir den Fall, in dem „x-2“ 0 ist, finden wir x=2. Beide werden nicht gleichzeitig 0. Daher sind dies alle Lösungen. Das heißt, x, das x^{2}+4x-12=0 erfüllt, ist x=-6semicolon2.

2.3Quadratische Formel


Übrigens kann die Lösung einer quadratischen Gleichung auch durch die folgende Formel namens „Quadratische Formel“ gelöst werden.
Quadratische Formel
Quadratische Formel
Tatsächlich haben wir die gleichen Lösungen wie zuvor erhalten.

3.Abbildungen

Abschließend erklären wir Funktionen und Abbildungen.
Eine „Abbildung“ ist etwas, das jedes Element einer bestimmten Menge einem Element einer bestimmten Menge zuordnet, und wird manchmal „Funktion“ genannt. In der Abbildung unten ist das, was der Sammlung von „Pfeilen“, die die Elemente verbinden, entspricht, die Abbildung.
Abbildung
Abbildung
Eine Abbildung f, die ein Element der Menge \bm{A} einem Element der Menge \bm{B} zuordnet, wird als „f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}“ ausgedrückt. Auch zu diesem Zeitpunkt wird das Element der Menge \bm{B}, das dem Element a der Menge \bm{A} entspricht, als „f(a)“ ausgedrückt. Zum Beispiel wird in dieser Abbildung, da das Element b_{2} dem Element a_{1} zugeordnet ist, f(a_{1})=b_{2}.
Wenn „f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}“, gibt es für jedes Element a der Menge \bm{A} genau ein entsprechendes Element f(a) in der Menge \bm{B}. Es passiert nie, dass es kein Ziel oder mehrere Ziele gibt.
Auch kann eine Abbildung innerhalb derselben Menge zuordnen. Mit anderen Worten, es kann „f:\bm{A}\rightarrow\bm{A}“ sein.
Zum Beispiel, für die Menge aller natürlichen Zahlen \mathbb{N}, wird „f(x)=2x“, das das Element x von \mathbb{N} verdoppelt, die Abbildung „f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}“.
Abbildung von „f(x)=2x“
Abbildung von „f(x)=2x“

3.1Surjektion, Injektion, Bijektion


In „f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}“, wenn die Elemente von \bm{A} allen Elementen von \bm{B} entsprechen, ohne eines auszulassen, wird f „Surjektion“ genannt. Streng genommen, wenn die Sammlung von f(a) für alle Elemente a der Menge \bm{A} mit der Menge \bm{B} übereinstimmt, ist f eine Surjektion.
Auch wenn die Elemente von \bm{B}, die jedem Element von \bm{A} entsprechen, keine Duplikate haben, wird f „Injektion“ genannt. Streng genommen, für alle zwei verschiedenen Elemente asemicolonb von \bm{A}, wenn f(a) und f(b) immer verschieden sind, ist f eine Injektion.
Wenn die Abbildung f sowohl surjektiv als auch injektiv ist, wird f „Bijektion“ genannt. Zu diesem Zeitpunkt entsprechen die Elemente von \bm{A} und die Elemente von \bm{B} genau eins zu eins.
Die Bilder von Surjektion, Injektion und Bijektion sind in der Abbildung unten zusammengefasst.
Surjektion, Injektion, Bijektion
Surjektion, Injektion, Bijektion

3.2Umkehrabbildung


Die Abbildung mit umgekehrter Entsprechungsrichtung der Abbildung f wird die „Umkehrabbildung“ von f genannt und als „f^{-}^{1}“ ausgedrückt. Streng genommen, obwohl es kompliziert zu erklären ist, wenn zwei Abbildungen „f:\bm{A}\rightarrow\bm{B}“ und „g:\bm{B}\rightarrow\bm{A}“ immer „g(f(a))=a“ für jedes Element a von \bm{A} erfüllen und immer „f(g(b))=b“ für jedes Element b von \bm{B} erfüllen, ist g die Umkehrabbildung von f „g=f^{-}^{1}“.
Zum Beispiel, wenn wir die Abbildung „f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}“, definiert durch „f(x)=x+2“, und die Abbildung „g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}“, definiert durch „g(x)=x-2“, betrachten, da die Entsprechungsrichtung umgekehrt ist, können wir sagen, dass g die Umkehrabbildung von f „g=f^{-}^{1}“ ist.
Umkehrabbildung
Umkehrabbildung
Übrigens, wenn die Abbildung f keine Bijektion ist, existiert die Umkehrabbildung für f nicht. Auch wenn f eine Bijektion ist, existiert die Umkehrabbildung f^{-}^{1} von f immer, und es gibt nur eine Art.
Wir haben dieses Mal reelle Zahlen und Abbildungen erklärt. Das nächste Mal werden wir verschiedene Figuren wie Dreiecke und Kreise erklären!
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